- Grenzwertsatz
- zentraler Grenzwertsatz; wichtiger Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie mit großer Anwendungsbedeutung in der ⇡ Stichprobentheorie.- 1. Inhalt: Es sei X1, ..., Xn, ... eine Folge von stochastisch unabhängigen ⇡ Zufallsvariablen, die eine beliebige ⇡ Verteilung besitzen dürfen. Die zugehörige Folge von Summenvariablen ist Z1 = X1; Z2 = X1 + X2; ...; Zn = X1 + ... + Xn; ... . Unter sehr allgemeinen Voraussetzungen strebt (Satz von Ljapunoff, allgemeinste Variante des z.G.) die Verteilung der zu Zn gehörenden standardisierten Variablen (⇡ Standardtransformation) gegen die ⇡ Standardnormalverteilung. Bei einer spezielleren Variante (Satz von Lindeberg-Lévy) wird zusätzlich vorausgesetzt, dass die Xi alle dieselbe Verteilung haben.- 2. Bedeutung: Der Satz von Ljapunoff kann als Begründung dafür dienen, dass ⇡ Variablen, die als Überlagerung einer Vielzahl zufälliger und unabhängiger Einflüsse erklärt werden können, in der Realität oft annähernd normalverteilt (⇡ Normalverteilung) sind. Aus dem Satz von Lindeberg-Lévy ist abzuleiten, dass das ⇡ arithmetische Mittel der Beobachtungswerte in einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe (⇡ uneingeschränktes Zufallsstichprobenverfahren) bei großem Stichprobenumfang selbst dann approximativ normalverteilt ist, wenn in der ⇡ Grundgesamtheit keine Normalverteilung vorliegt. Dies ermöglicht es, gewissermaßen im Schutz großer Stichprobenumfänge, Verfahren der ⇡ Intervallschätzung und ⇡ statistische Testverfahren auf der Grundlage der Normalverteilung auch in Anwendungsfeldern einzusetzen, in denen die Normalverteilung empirisch nicht festzustellen ist, etwa in der ⇡ Wirtschaftsstatistik.
Lexikon der Economics. 2013.
